Grafik Fungsi Kuadrat
Fungsi kuadrat dapat digambarkan ke dalam koordinat kartesius sehingga diperoleh suatu grafik fungsi kuadrat. Sumbu x adalah domain dan sumbu y adalah kodomain.
Grafik dari fungsi kuadrat berbentuk seperti parabola sehingga sering disebut grafik parabola.
Grafik dapat dibuat dengan memasukan nilai x pada interval tertentu sehingga didapat nilai y. Kemudian pasangan nilai (x, y) tebut menjadi koordinat dari yang dilewati suatu grafik. Sebagai contoh, grafik dari fungsi: adalah:
Jenis grafik fungsi kuadrat lain
- Grafik fungsi
Jika pada fungsi memiliki nilai b dan c sama dengan nol, maka fungsi kuadratnya:
Pada grafik fungsi ini akan selalu memiliki garis simetris pada x = 0 dan titik puncak y = 0. Sebagai contoh , maka grafiknya adalah:
- Grafik fungsi
Jika pada fungsi memiliki nilai b = 0, maka fungsi kuadratnya sama dengan:
Pada fungsi ini grafik akan memiliki kesamaan dengan grafik fungsi kuadrat yaitu selalu memiliki garis simetris pada x = 0. Namun, titik puncaknya sama dengan nilai c atau . Sebagai contoh = + 2, maka grafiknya adalah:
- Grafik fungsi
Grafik ini merupakan hasil perubahan bentuk dari . Pada fungsi kuadrat ini grafik akan memiliki titik puncak (x, y) sama dengan (h, k). Hubungan antara a, b, dan c dengan h, k sebagai berikut:
Sifat-sifat Grafik Fungsi Kuadrat
a. Grafik terbuka
Grafik dapat terbuka ke atas atau ke bawah. Sifat ini ditentukan oleh nilai a. Jika maka grafik terbuka ke atas, jika maka grafik terbuka kebawah.
b. Titik Puncak
Grafik kuadrat mempunyai titik puncak atau titik balik. Jika grafik terbuka kebawah, maka titik puncak adalah titik maksimum. Jika grafik terbuka keatas maka, titik puncak adalah titik minimum.
c. Sumbu Simetri
Sumbu simetri membagi grafik kuadrat menjadi 2 bagian sehingga tepat berada di titik puncak. Karena itu, letaknya pada grafik berada pada:
d. Titik potong sumbu y
Grafik memotong sumbu y di x = 0. Jika nilai x = 0 disubstitusikan ke dalam fungsi, diperoleh y = c. Maka titik potong berada di (0, c).
e. Titik potong sumbu x
Grafik kuadrat akan memotong sumbu x di y = 0, sehingga membentuk persamaan
Akar-akar dari persamaan tersebut adalah absis dari titik potong. Oleh karena itu, nilai diskriminan (D) berpengaruh pada keberadaan titik potong sumbu x
Menyusun Persamaan Grafik Fungsi Kuadrat
Persamaan grafik fungsi kuadrat dapat dibentuk dengan syarat:
Diketahui tiga titik koordinat (x, y) yang dilalui oleh grafik
Ketiga koordinat tersebut, masing-masing disubstitusikan kedalam persamaan grafik:
Sehingga didapat tiga persamaan berbeda yang saling memiliki variabel a, b dan c. Selanjutnya dilakukan teknik eliminasi aljabar untuk memperoleh nilai dari a, b dan c. Setelah diperoleh nilai-nilai itu, kemudian masing-masing disubstitusikan ke dalam persamaan sebagai koefisien.
Diketahui titik potong dengan sumbu x dan satu titik yang dilalui
Jika titik potong sumbu x adalah dan , dan satu titik yang dilalui
Jika titik puncaknya adalah , maka rumus fungsi kuadrat nya adalah:
Dengan nilai a didapat dari mensubstitusikan titik (x, y) yang dilalui.
MATERI LOGIKA
Seperti pada pengertian di atas, pernyataan adalah kalimat yang bisa benar atau bisa salah.
Ingkaran/negasi/penyangkalan (~)
Dari sebuah pernyataan, kita dapat membuat pernyataan baru berupa “ingkaran/negasi/penyangkalan” atas pernyataan tadi. Berikut adalah tabel kebenaran ingkaran:
*B = pernyataan bernilai benar
S = pernyataan bernilai salah
Artinya, jika suatu pertanyaan (p) benar, maka ingkaran (q) akan bernilai salah. Begitu pula sebaliknya. Berikut adalah contoh dalam matematika:
p: Besi memuai jika dipanaskan (pernyataan bernilai benar)
~p: Besi tidak memuai jika dipanaskan (pernyataan bernilai salah).
Contoh lain:
p: Semua unggas adalah burung.
~p: Ada unggas yang bukan burung.
Dalam ilmu matematika, terdapat 4 macam pernyataan majemuk:
Konjungsi (^)
Konjungsi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “dan”. Sehingga, notasi “p^q” dibaca “p dan q”.
Contoh:
p: 3 adalah bilangan prima (pernyataan bernilai benar)
q: 3 adalah bilangan ganjil (pernyataan bernilai benar)
p^q: 3 adalah bilangan prima dan ganjil (pernyataan bernilai benar)
Disjungsi (V)
Disjungsi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “atau”. Sehingga notasi “pVq” dibaca “p atau q”.
Contoh:
p: Paus adalah mamalia (pernyataan bernilai benar)
q: Paus adalah herbivora (pernyataan bernilai salah)
pVq: Paus adalah mamalia atau herbivora (pernyataan bernilai benar)
Implikasi (->
Implikasi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “jika… maka…” Sehingga notasi dari “p->q” dibaca “Jika p, maka q”. Adapun tabel nilai kebenaran dari implikasi:
Dari tabel terlihat bahwa implikasi hanya bernilai salah jika anteseden (p) benar, dan konsekuen (q) salah
Contoh:
p: Andi belajar dengan aplikasi ruangguru. (pernyataan bernilai benar)
q: Andi dapat belajar di mana saja. (pernyataan bernilai benar)
p->q: Jika Andi belajar dengan aplikasi ruangguru, maka Andi dapat belajar di mana saja (pernyataan bernilai benar
Biimplikasi (<->)
Biimplikasi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “… jika dan hanya jika”. Sehingga, notasi dari “p<-> q” akan dibaca “p jika dan hanya jika q”.
Tabel nilai kebenaran Biimplikasi:
Dari tabel kebenaran tersebut, dapat kita amati bahwa biimplikasi akan bernilai benar jika sebab dan akibatnya (pernyataan p dan q) bernilai sama. Baik itu sama-sama benar, atau sama-sama salah.
Contoh:
p: 30 x 2 = 60 (pernyataan bernilai benar)
q: 60 adalah bilangan ganjil (pernyataan bernilai salah)
p<->q: 30 x 2 = 60 jika dan hany
a jika 60 adalah bilangan ganjil (pernyataan bernilai salah).
Soal fungsi kuadrat dan grafik
- grafik fungsi kuadrat f(x) = 2x^2 + bx + 6, menyinggung garis y= 2x+6 . nilai b yang memenuhi adalah…
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Pembahasan :
Mis :
Y1= 2x^2 + bx + c
Y2 = 2x+ 6
Y1=y2
2x^2 + bx+ 6 = 2x+6
2x^2+bx-2x= 6-6
2x^2+(b-2)x = 0
A=2
B=b-2
C= 0
Parabola yang menyinggung garis => p=0
B^2-4ac + o
(b-2)^2-4(2)(0) =0
(b-2)^2 =0
B=2
Jadi, misal b yang memenuhi adalah 2 (b)
- Jika M > O dan grafik f (x)= 2x^2 +mx+5 menyinggung garis y =2x+1 maka nilai M………..
A 4. C -6
B 5. D 6
Pembahasan :
Mis: Y1=2x^2+mx+5
Y2=2^2+1
Y1=Y2
2x^2+mx+5= 2^+1
2^2+mx-2^+5-1= 0
2^2+(m-2) x+4=0
A=2
B=(m-2)c=4
Parabola menyinggung
B^-4ac=0
(m-2)-4.2.4=0
M^-4m+4-16=0
M^-4m-12=0
(m+2) (m-6)
M= -2 atau m=6
Jawaban: D 6 - Dik 2 titik potong sumbu x, satu titik lainnya
Tentukan fungsi kuadrat yang memotong suatu x di A (1,0),
B(-3,0), Dan memotong sumbu y di (0-3) :
A. x^2+2x-3
B. 2x^2-2x+3
C. 2x^2+5x-3
D. X^2+2x-3
Pembahasan :
\ f(x)= a(x-x1)(x-x2)
(0,-3)=a(x-1)(x+3)
(0,-3)=-3=a(0-1)(0+3)
-3=-3a
A=1
F(x)=a(x-1) (x+3)
= 1(x-1)(x+3)
= x^2+3x-x-3
= x^2+2x-3 (A)
4 . Jika grafik fungsi y = x^2 + (p-1) x + 4 menyinggung sumbu x, nilai p yang memnuhi dalah…
A. p = 5 / p = -3
B. p = -5 / p = -3
C. p = 5 / p = 3
D. p = -5 / p = 3
Pembahasan :
Dari grafik fungsi diatas diperoleh a = 1, b = p-1, c = 4
Grafik menyinggung sumbu x, maka 0 = 0
B^2 – 4ac = 0
(p-1)^2 – 4(1)(4) = 0
P^2 – 2p+1 – 16 = 0
P^2 – 2p -15 = 0
(p-5) (p+3) =
p = 5 atau p = -3 (A)
B
- Persamaan grafik fungsi kuadrat yang mempunyai titik balik minimum (1, 2) dan melalui titik (2, 3) adalah…
A. y = x^2 − 2x + 1
B. y = x^2 − 2x + 3
C. y = x^2− 2x − 1
D. y = x^2+ 2x + 1
E. y = x^2 − 2x − 3
Pembahasan
Diketahui titik balik (xp, yp) = (1, 2)
dan melalui titik (x, y) = (2, 3)
y = a(x − xp)^2+ yp
3 = a(2 − 1)^2+ 2
3 = a + 2
⇒ a = 1
y = 1 (x − 1)^2 + 2
y = x^2− 2x + 1 + 2
y= x^2 -2x +3
Jawaban : B
Logika mateematika
- Dik : p1 = mahesa anak jenius
P2= mahesa anak pemalas
Diit : konjungsi dari pernyataan diatas adalah…
A. Mahesa anak yang jenius dan pemalas
B. Mahesa anak jenius
C. Mahesa anank yang rajin
D. Mahesa anak yang jenius tetapi pemalas
Pembahasan :
P^Q : Mahesa anak yang jenius tetapi pemalas (D)
Kata “dan” bisa di ganti dengan “ tetapi”,”walaupun”,’meskipun” . selaraskan dengan pernyataan
- Premis 1 : jika mesin semi tiba bunga mekar
Premis 2 : musim semi tiba
Pernyataan yang benar pada kedua premis adalah ..
A. Bunga mekar
B. Bunga gugur
C. Musim semi
D. Hujan
Pembahasan :
Premis 1 ~ premis 2 :
Jika musim semi tiba bunga mekar ~ musim semi tiba
Pernyataannya : bunga mekar (A) - Premis 1 : musim dingin tiba, maka danau akan membeku
Premis 2 : danau tidak membeku
Simpulkan atas pernyataan kedua premis tersebut…
A. Musim dingin tiba
B. Danau membeku
C. Tidak sedang musim dingin
D. Musim dingin tiba danau membeku
Pembahasan :
Premis 1 : p->q
Premis 2 : ~q
~q sama dengan danau tidak membeku
Jadi c danau tidak sedang musim dingin - p : iwan memakai topi
q : iwan memakai dasi
konjungsi dari pernyataan diatas adalah…
A. iwan memakai dasi atau topi
B. iwan memakai dasi walaupun topi
C. iwan memakai topi dan dasi
D. topi dan dasi iwan
pembahasan :
p^q : iwan memakai topi ^ iwan memakai dasi
jadi, p^q adalah iwan memakai topi dan dasi (c) - premis 1 : jika dini nakal, maka ibu marah
premis 2 : jika ibu marah, maka dini tidak dapat uang saku
kesimpulan dari kedua premis diatas adalah…
A. dini nakal ibu marah
B. dini tidak dapat uang saku, dini nakal
C. jika dini nakal ibu marah
D. jika ani nakal, maka ani tidak dapat uang saku
pembahasan :
premis 1 : p->q
premis 2 : q->r
kesimpulan : p->r (silogisme)
jadi, kesimpulannya adalah jika dini nakal, maka ani dini tidak mendapat uang saku (D)